Question

9．已知函数f（x）=$\frac{x^2}{2lnkx}$（k≠0）的图象在x=$\sqrt{e}$处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）设函数g（x）=-$\frac{x^2}{2}+alnx+a\;（{a＞0}）$，若对于?x₁，x₂∈（1，+∞），总有f（x₁）≥g（x₂）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间和极值即可；
（Ⅱ）求出函数f（x）的最小值，通过讨论a的范围，判断g（x）的单调性，从而确定a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞），
∴$f'（x）=\frac{{2xlnkx-{x^2}•\frac{1}{x}}}{{2{{ln}^2}kx}}=\frac{{x（{2lnkx-1}）}}{{2{{ln}^2}kx}}$．
由已知$f'（{\sqrt{e}}）=0$得k=1，
∴$f（x）=\frac{x^2}{2lnx}$
从而f'（x）、f（x）随x的变化如下表

x	（0，1）	$（{1\;，\;\sqrt{e}}）$	$\sqrt{e}$	$（{\sqrt{e}\;，\;+∞}）$
f'（x）	-	-	0	+
f（x）	↘	↘	极小	↗

∴f（x）的减区间是（0，1），$（{1\;，\;\sqrt{e}}）$；f（x）的增区间是$（{\sqrt{e}\;，\;+∞}）$；$f{（x）_{极小}}=f（{\sqrt{e}}）=e$，无极大值．
（Ⅱ）由题设，只须g（x）在（1，+∞）上的最大值不大于f（x）的最小值即可．
由（Ⅰ）知，当x＞1时，$f（x）_{min}^{\;}=e$．
当x≥1时，..，
（1）若a≤1，则g'（x）≤0，此时，g（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴$g（x）≤g（1）=-\frac{1}{2}+a＜e$满足题设．
（2）若a＞1，则g'（x）=0，得$x=\sqrt{a}$，
当$1＜x＜\sqrt{a}$时，g'（x）＞0；当$x＞\sqrt{a}$时，g'（x）＜0，
∴$g{（x）_{max}}=g（{\sqrt{a}}）=-\frac{a}{2}+aln\sqrt{a}=\frac{1}{2}（{a+alna}）$，
故只须$\frac{1}{2}（{a+alna}）≤e$．
记$h（x）=\frac{1}{2}（{x+xlnx}）$（x＞1），则$h'（x）=1+\frac{1}{2}lnx＞0$，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，且$h（e）=\frac{1}{2}（{e+elne}）=e$，
从而，当且仅当a≤e时，有$\frac{1}{2}（{a+alna}）≤e$．
综上，0＜a≤e即为所求．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．