Question

1．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{{\sqrt{3}sinC}}{cosB}=\frac{c}{b}$．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）点D为边AB上的一点，记∠BDC=θ，若$\frac{π}{2}$＜θ＜π，CD=2，$AD=\sqrt{5}$，a=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，求sinθ与b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合范围0＜B＜π，可求B的值．
（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理可得$\frac{CD}{sinB}=\frac{BC}{sin∠BDC}$=$\frac{a}{sinθ}$，解得sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，结合θ为钝角，利用诱导公式可求cos∠ADC的值，在△ADC中，由余弦定理，可得b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵$\frac{{\sqrt{3}sinC}}{cosB}=\frac{c}{b}$，∴可得：$\frac{\sqrt{3}sinC}{cosB}=\frac{sinC}{sinB}$，
∵sinC＞0，∴$\frac{sinB}{cosB}$=tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{6}$…4分
（Ⅱ）在△BCD中，∵$\frac{CD}{sinB}=\frac{BC}{sin∠BDC}$=$\frac{a}{sinθ}$，
∴$\frac{2}{sin30°}$=$\frac{\frac{8\sqrt{5}}{5}}{sinθ}$，∴sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…8分
∵θ为钝角，
∴∠ADC为锐角，
∴cos∠ADC=cos（π-θ）=$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴在△ADC中，由余弦定理，可得：
b=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}-2AD×CD×cosθ}$=$\sqrt{5+4-2\sqrt{5}×2×\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\sqrt{5}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．