Question

（本小题满分14分）
如图，三棱锥中，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若为线段上的点，设，问为何值时能使
直线平面；
（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

方法一：
（Ⅰ） ，
∴ ，，
 ，
∴ 平面．                        　   ……………………3分
（Ⅱ）当M为PC中点时，即时，直线平面，　　   …………4分
证明如下：
由（Ⅰ）知平面，平面，∴ ，　 ……5分
在等腰中， M为中点，∴ ，         …………6分
又，
∴ 平面．                               　  ……………8分
（Ⅲ）
由(Ⅱ)知当M为PC中点时，平面， 平面，
∴ 平面平面．                        ……………………9分
过作于，∴ 平面                                                         
作于，连结，由三垂线定理可知，．
∴ 为二面角的平面角．           ……………………11分
设，则．
在中，，
由(Ⅰ)知平面，平面，∴ ．
在中，．
由面积公式得,,            ……………12分
同理，在中，由面积公式得， ……………13分
在中，．
所以二面角的大小为．       ……………………14分
方法二：
(Ⅰ)同方法一．                                      　    …………………3分
(Ⅱ)如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．                      

设，则， 　  …………………4分
当M为PC中点时，即时，直线平面．   …………………5分
证明如下：
当M为PC中点时，．
，,．
,                    
∴ ，即．                          ………………6分
，            
∴ ，即．                           ………………7分
又，∴ 平面．                ……………8分
（Ⅲ）可证平面．                                   
则平面法向量为，                          ……………9分
下面求平面PBC的法向量．
设平面PBC的法向量为，
,，
，
令，则，                     　   ……………………12分
．
所以二面角的大小为．          ……………………14分