Question

12．已知直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心的直角坐标．
（Ⅱ）直线l上的向圆C引切线，则切线长为$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t+\sqrt{2}+4\sqrt{2}）^{2}-4}$，由此利用配方法能求出切线长的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵$ρ=4cos（θ+\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}cosθ$-2$\sqrt{2}sinθ$，
∴${ρ}^{2}=2\sqrt{2}ρcosθ-2\sqrt{2}ρsinθ$，
∴圆C的直角坐标方程为${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}y=0$，即（x-$\sqrt{2}$）²+（y+$\sqrt{2}$）²=4，
∴圆心的直角坐标为（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）．
（Ⅱ）直线l上的向圆C引切线，则切线长为：
$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t+\sqrt{2}+4\sqrt{2}）^{2}-4}$=$\sqrt{{t}^{2}+8t+48}$=$\sqrt{（t+4）^{2}+32}$$≥4\sqrt{2}$，
∴由直线l上的点向圆C引切线，切线长的最小值为4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆心的直角坐标的求法，考查切线长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用．