Question

已知a＞0且a≠1，设P：函数y=a^x在R上单调递减，Q：函数y=ln（x²+ax+1）的定义域为R，若P与Q有且仅有一个正确，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：对于命题P：利用指数函数的单调性可得0＜a＜1．对于命题Q：函数y=ln（x²+ax+1）的定义域为R，可知：x²+ax+1＞0在R上恒成立，因此△＜0．
由于P与Q有且仅有一个正确，分为一下两种情况：当P真Q假时，当Q真P假时，解出即可．

解答： 解：由于a＞0且a≠1，命题P：函数y=a^x在R上单调递减，∴0＜a＜1．
Q：函数y=ln（x²+ax+1）的定义域为R，∴x²+ax+1＞0在R上恒成立，∴△=a²-4＜0，解得-2＜a＜2．
由于P与Q有且仅有一个正确，分为一下两种情况：
当P真Q假时，

0＜a＜1 a≤-2或a≥2

解得a∈∅．
当Q真P假时，

a＞1 -2＜a＜2

，解得1＜a＜2．
综上可得：a的取值范围是（1，2）．

点评：本题考查了指数函数的单调性、对数函数的性质、一元二次不等式的解集与判别式的关系、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力，属于基础题．