Question

在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，AD⊥DP，CD⊥平面PDAQ，AB=AQ=

1

2

DP．
（1）求证：棱锥Q-ABCCD与棱锥P-DCQ的体积相等．
（2）求异面直线CP与BQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来即可得出结论；
（2）确定∠PCE为异面直线PC与BQ所成角，利用余弦定理，即可求出异面直线CP与BQ所成角的大小．

解答： （1）证明：设AB=a，由题设，QA⊥AD，QA⊥CD，知AQ为棱锥Q-ABCD的高，
所以棱锥Q一ABCD的体积V₁=

1

3

a3，
棱锥P-DCQ的体积V₂=V_C-DPQ=

1

3

•

1

2

•2a•a•a=

1

3

a3，
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积相等；
（2）解：因为AB=AQ=

1

2

DP，取PD中点E，连结QE，CE
则QE∥BC，且QE=BC，故CE∥BQ，
所以∠PCE为异面直线PC与BQ所成角．…（2分）
设AB=a，则在△PCE中，EP=a，CE=

2

a，CP=

5

a，…（4分）

由余弦定理，cos∠PCE=

2a2+5a2-a2

2 2 a• 5 a

=

3 10

10

．…（7分）
所以，异面直线CP与BQ所成角的大小为arccos

3 10

10

．    …（8分）

点评：本题考查体积的计算，考查异面直线所成角，考查余弦定理，正确作出异面直线所成角是关键．