Question

9．已知函数f（x）=2x+sinx，且f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，则当y≥1时，$\frac{y}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{1}{4}，\frac{3}{4}}]$
• B． $[{0，\frac{3}{4}}]$
• C． $[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$
• D． $[{\frac{1}{4}，\frac{1}{3}}]$

Answer 1

分析 判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和$\frac{y}{x+1}$的几何意义即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=2x+sinx（x∈R），
∴f（-x）=-2x-sinx=-（2x+sinx）=-f（x），
即f（x）=2x+sinx（x∈R）是奇函数，
∵f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，
∴f（y²-2y+3）≤-f（x²-4x+1）=f[-（x²-4x+1）]，
由f'（x）=1-cosx≥0，
∴函数单调递增．
∴（y²-2y+3）≤-（x²-4x+1），
即（y²-2y+3）+（x²-4x+1）≤0，
∴（y-1）²+（x-2）²≤1，
∵y≥1，
∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．
$\frac{y}{x+1}$的几何意义为动点P（x，y）到定点A（-1，0）的斜率的取值范围．
设k=$\frac{y}{x+1}$，（k＞0）
则y=kx+k，即kx-y+k=0．
当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=$\frac{|3k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即8k²-6k=0，解得k=$\frac{3}{4}$．此时直线斜率最大．
当直线kx-y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，
此时3k-1+k=0，即4k=1，解得k=$\frac{1}{4}$
∴$\frac{1}{4}$≤k≤$\frac{3}{4}$，
故选：A．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想．