Question

8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）过点M（1，-2），且焦点为F，直线l与抛物线相交于A、B两点．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）若直线l经过抛物线C的焦点F，当线段AB的长等于5时，求直线l方程．
（3）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

分析 （1）点M代入抛物线方程，可得p，即可求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）利用抛物线中的弦长公式，即可求直线l方程．
（3）直线l的方程为x=ty+b代入y²=4x，得y²-4ty-4b=0，利用韦达定理结合$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-4，求出b，即可证明直线l必过一定点，并求出该定点．

解答 解：（1）由2²=2p，得p=2，抛物线C的方程为y²=4x，
其准线方程为x=-1，焦点为F（1，0）．
（2）若直线l经过抛物线C的焦点F，则直线l的方程为x=ty+1．
代入抛物线方程可得y²-4ty-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，则x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2，
所以$|AB|={x_1}+{x_2}+p={x_1}+{x_2}+2=4{t^2}+2+2=5$，得t²=1，t=±1，直线l方程为x=±y+2．
（3）设直线l的方程为x=ty+b代入y²=4x，得y²-4ty-4b=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b．
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（t{y_1}+1）（t{y_2}+1）+{y_1}{y_2}=-4b{t^2}+4b{t^2}+{b^2}-4b=-4$，
∴b=2，直线l必过一定点（2，0）．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．