Question

17．已知函数f（x）=4^x-m•2^x+1+8．
（Ⅰ）当m=3时，求方程f（x）=0的解；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，求函数f（x）的最小值g（m）（用m表示）；
（Ⅲ）讨论函数f（x）在实数集R上的零点的个数，并求出零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当m=3时，f（x）=4^x-3•2^x+1+8=0，从而解得2^x=2或2^x=4，从而解得．
（Ⅱ）化简f（x）=4^x-m•2^x+1+8=（2^x-m）²+8-m²，从而讨论以确定函数的最小值．
（Ⅲ）令f（x）=4^x-m•2^x+1+8=0得m=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{{2}^{x}}$+2^x），从而结合基本不等式及对勾函数讨论方程的解的个数，从而确定零点的个数．

解答 解：（Ⅰ）当m=3时，
f（x）=4^x-3•2^x+1+8=0，
即2^x=2或2^x=4，
解得，x=1或x=2；
（Ⅱ）f（x）=4^x-m•2^x+1+8=（2^x-m）²+8-m²，
当x∈[0，1]时，2^x∈[1，2]，
①当m≤1时，g（m）=f（0）=9-2m，
②当1＜m＜2时，g（m）=8-m²，
③当m≥2时，g（m）=f（1）=12-4m，
综上所述，g（m）=$\left\{\begin{array}{l}{9-2m，m≤1}\\{8-{m}^{2}，1＜m＜2}\\{12-4m，m≥2}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）令f（x）=4^x-m•2^x+1+8=0得，
m=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{{2}^{x}}$+2^x），
∵$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{{2}^{x}}$+2^x）≥$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
∴当m＜2$\sqrt{2}$时，函数f（x）在实数集R上没有零点，
当m=2$\sqrt{2}$时，函数f（x）在实数集R上有且只有一个零点，为$\frac{3}{2}$，
当m＞2$\sqrt{2}$时，函数f（x）在实数集R上有两个零点，
故2^x=m+$\sqrt{{m}^{2}-8}$，或2^x=m-$\sqrt{{m}^{2}-8}$，
故x=log₂（m+$\sqrt{{m}^{2}-8}$），或x=log₂（m-$\sqrt{{m}^{2}-8}$）．

点评 本题考查了函数的应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．