Question

17．在平面直角坐标系xOy中，点P为双曲线x²-2y²=1的左支上的一个动点，若点P到直线x+$\sqrt{2}$y-3=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$

Answer 1

分析 先求出双曲线的渐近线，结合直线和渐近线平行求出两平行直线的距离即可得到结论．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
而直线x+$\sqrt{2}$y-3=0的斜率k=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即直线x+$\sqrt{2}$y-3=0与渐近线y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，即x+$\sqrt{2}$y=0平行，
则两条平行直线的距离d=$\frac{|-3-0|}{\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
若点P到直线x+$\sqrt{2}$y-3=0的距离大于c恒成立，
则c≤$\sqrt{3}$，
即c的最大值为$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线的性质的应用，求出双曲线以及平行直线的距离是解决本题的关键．