Question

7．已知实数x，y满足条件$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-y-3≤0}\\{y≤2}\end{array}}\right.$，则$\frac{x}{x+y}$的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1]．

Answer 1

分析 根据分式的关系将条件进行转化，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：$\frac{x}{x+y}$=$\frac{1}{1+\frac{y}{x}}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则OB的斜率最小，此时k=0，
OC的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（1，2），
则k=2，即k=$\frac{y}{x}∈[0，\;\;2]$，
∴$\frac{x}{x+y}=\frac{1}{{1+\frac{y}{x}}}∈[{\frac{1}{3}，\;\;1}]$．
故答案为：[$\frac{1}{3}$，1]

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用分式的意义转化为直线斜率的大小是解决本题的关键．