Question

4．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线y²=4x的准线上，且椭圆C过点$P（1，\frac{3}{2}）$，直线与椭圆C交于A，B两个不同点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线的斜率为$\frac{1}{2}$，且不过点P，设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂为定值．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，推出c=1，故设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．点在椭圆上，列出方程组求解可得椭圆C的方程．
（2）直线的斜率为$\frac{1}{2}$，且不过$P（1，\frac{3}{2}）$点，设直线$l：y=\frac{1}{2}x+m（m≠1）$．联立方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=\frac{1}{2}x+m\end{array}\right.$，消y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用判别式以及韦达定理，表示k₁+k₂，推出定值．

解答 解：（1）抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，由题意知F（-1，0）．
故设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
则由题意可得$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{{a^2}-{b^2}}=1\\ \frac{1^2}{a^2}+\frac{{{{（\frac{3}{2}）}^2}}}{b^2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=4\\{b^2}=3\end{array}\right.$．
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）证明：∵直线的斜率为$\frac{1}{2}$，且不过$P（1，\frac{3}{2}）$点，∴可设直线$l：y=\frac{1}{2}x+m（m≠1）$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=\frac{1}{2}x+m\end{array}\right.$，消y得x²+mx+m²-3=0．又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故有$\left\{\begin{array}{l}△={m^2}-4（{m^2}-3）＞0\\{x_1}+{x_2}=-m\\{x_1}{x_2}={m^2}-3\end{array}\right.$，
所以${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{（{y_1}-\frac{3}{2}）（{x_2}-1）+（{y_2}-\frac{3}{2}）（{x_1}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$
=$\frac{{（\frac{1}{2}{x_1}+m-\frac{3}{2}）（{x_2}-1）+（\frac{1}{2}{x_2}+m-\frac{3}{2}）（{x_1}-1）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$
=$\frac{{{x_1}{x_2}+（m-2）（{x_1}+{x_2}）-2m+3}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}$
=$\frac{{{m^2}-3+（m-2）（-m）-2m+3}}{{{m^2}-3-（-m）+1}}=0$，所以k₁+k₂为定值0．

点评 本题考查抛物线以及椭圆的位置关系的综合应用，直线与椭圆的位置关系的应用，定值问题的处理方法，考查计算能力．