Question

【题目】已知圆的圆心在射线上，截直线所得的弦长为6，且与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）已知点，在直线上是否存在点（异于点），使得对圆上的任一点，都有为定值？若存在，请求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在,为,

【解析】

（1）由题,设圆心为,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出,进而得到圆的方程；

（2）假设存在满足条件的点和定值,设为,为,利用两点间距离公式得到,再根据在圆上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可

（1）圆的圆心在射线上,

设圆心为,圆心到直线的距离为,

又圆与直线相切,

,

圆截直线所得的弦长为6,

,则,即,

,解得或（舍）

,圆心为,

圆为

（2）存在,为,,

假设存在直线上点（异于点）,使得对圆上的任一点,都有为定值,

由题,设为,且,,

设为,则,,

则,

整理可得,

在圆上,,即,

,

,解得,此时为