题目内容
【题目】如图,是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道,连结M,N两地之间的铁路线是圆心在
上的一段圆弧,若点M在点O正北方向3公里;点N到的
距离分别为4公里和5公里.
(1)建立适当的坐标系,求铁路线所在圆弧的方程;
(2)若该城市的某中学拟在点O的正东方向选址建分校,考虑环境问题,要求校址到点O的距离大于4公里,并且铁路上任意一点到校址的距离不能小于公里,求该校址距点O的最短距离(注:校址视为一个点)
【答案】(1)(
;(2)
.
【解析】
(1)以垂直的直线为轴建立平面直角坐标系,设圆心坐标为,由圆心到
两点的距离相等求出
,即圆心坐标,再求出半径,可得圆方程,圆弧方程在圆方程中对变量
加以限制即可。
(2)设校址坐标为,
,根据条件列出不等式,由函数单调性求最值解决恒成立问题。
(1)以直线为
轴,
为
轴,建立如图所求的直角坐标系,则
,
,设圆心为
,则
,解得
。即
,圆半径为
,∴圆方程为
,
∴铁路线所在圆弧的方程为(
。
(2)设校址为,
,
是铁路上任一点,
则对
恒成立,即
对
恒成立,
整理得对
恒成立,
记,
∵,∴
,
在
上是减函数,
∴,即
,解得
。
即校址距点最短距离是
。
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