题目内容

【题目】已知函数.

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,函数是否存在零点?如果存在,求出零点;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)见解析;(2)不存在零点.

【解析】

1)先求导数,再根据导函数零点分类讨论,根据导函数符号确定单调性,(2)先利用导数求上最大值,再构造函数,利用导数证得,化简证得,从而确定不存在零点.

(1)函数的定义域为

(一)当时,时,单调递增;

时,单调递减.

(二)时,方程有两解或1

①当时,

时,上单调递减.

时,单调递增.

②当时,令,得

(i)当时,恒成立,上单调递增;

(ii)当时,.

时,上单调递增.

时,单调递减.

(iii)当时,

时,,在单调递增.

时,单调递减.

综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为

时,的单调递增区间为,单调递减区间为

时,上单调递增;

时,的单调递增区间为,单调递减区间为

时,的单调递增区间为,单调递减区间为.

(2)由(1)可知当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,在处取得极大值也是最大值.

,则,令

,当

所以在定义域上先增后减,在处取最大值0,所以

所以,所以

,所以函数不存在零点.

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