Question

【题目】如图所示，底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，AB=2，PA=4，PB=PD=，AC与BD相交于点O，E为PD中点．

(1)求证：EO//平面PBC；

(2)设线段BC上点F满足CF=2BF，求锐二面角E－OF－C的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）利用三角形中位线证得,进而证得平面.（2）建立空间直角坐标系后，通过平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）因为为与交点，且是正方形，所以为中点，因为为的中点，所以，平面,平面，所以平面.

（2）因为，所以,所以,所以平面，因为是正方形，所以，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.则,.，设平面的法向量为，则，令，则，所以.因为平面，所以平面的法向量可以取，所以.所以锐二面角的余弦值为.