Question

5．已知函数$f（x）=\frac{1+cos2x}{{2sin（\frac{π}{2}-x）}}+sinx+{a^2}sin（x+\frac{π}{4}）$
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{5π}{12}$]时，函数 y=f（x）的最小值为 $1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，试确定常数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=（$\sqrt{2}+{a}^{2}$）sin（x+$\frac{π}{4}$），由x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）且$sin（\frac{π}{2}-x）=cosx≠0$，即可解得f（x）的单调递增区间．
（2）当x∈[0，$\frac{5π}{12}$]时，可求x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，从而可求f（x）最小值为$（\sqrt{2}+{a^2}）×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$，
由已知得$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$=$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：$f（x）=\frac{1+cos2x}{{2sin（\frac{π}{2}-x）}}+sinx+{a^2}sin（x+\frac{π}{4}）$
=$\frac{2co{s}^{2}x}{2cosx}$+sinx+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）+a²sin（x+$\frac{π}{4}$）
=（$\sqrt{2}+{a}^{2}$）sin（x+$\frac{π}{4}$），…（5分）
（1）由x+$\frac{π}{4}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）得：x∈[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z），
∵$sin（\frac{π}{2}-x）=cosx≠0$，
∴$x≠kπ+\frac{π}{2}（k∈z）$，
∴函数y=f（x）的单调递增区间是：[2kπ-$\frac{3π}{4}$，2kπ-$\frac{π}{2}$），（ 2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]（k∈Z）．…（9分）
（2）当x∈[0，$\frac{5π}{12}$]时，x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$时，函数y=f（x）取得最小值为$（\sqrt{2}+{a^2}）×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$，
∴由已知得$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}{a^2}$=$1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴a=±1．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，三角函数化简求值，三角函数恒等变换的应用，考查了数形结合思想和计算能力，属于中档题．