Question

9．已知集合M={（a，b）|a≤一1，且b≤m}，其中m∈R．
（1）若f（a，b）=$\frac{b-1}{a-1}$的最小值为-1，求实数m的值；
（2）若任意（a，b）∈M，均有a•2^b-b-3a≥0，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，在（-1，m）处，f（a，b）=$\frac{b-1}{a-1}$的最小值为-1，即可求出m的值；
（2）设f（a）=a（2^b-3）-b，由题意可得，2^b-3＜0，且f（-1）≥0恒成立，再由g（x）=x+2^x在R上递增，且g（1）=3，解不等式求交集即可．

解答 解：（1）由题意，在（-1，m）处，f（a，b）=$\frac{b-1}{a-1}$的最小值为-1，
∴$\frac{m-1}{-1-1}$=-1，
∴m=3；
（2）设f（a）=a（2^b-3）-b，
由于任意的实数a≤-1，恒有a•2^b-b-3a≥0成立，
则2^b-3＜0，且f（-1）≥0恒成立，
则有b＜log₂3，且3-b-2^b≥0，
由b+2^b≤3，又g（x）=x+2^x在R上递增，且g（1）=3，
则g（b）≤g（1），解得b≤1．
又b＜log₂3，则有b≤1，
∴实数m的最大值为1．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查构造函数运用单调性解题，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．