Question

4．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y∈R满足下列关系式：f（x•y）=xf（y）+yf（x），且f（2）=2．
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）证明：$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$-$\frac{f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n-1}}$=1（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由已知关系式，可令x=y=0，x=y=1，代入计算即可得到所求值；
（2）令x=y=-1，求得f（-1）=0，再令y=-1，代入即可得到f（-x）=-f（x），进而得证；
（3）作差，通分，再由f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2），结合f（2）=2，即可得证．

解答 解：（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
令x=y=0，可得f（0）=0；
令x=y=1，即有f（1）=2f（1），即为f（1）=0；
（2）证明：令x=y=-1，得f（-1）=0，
令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），
代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），
故f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数．
（3）证明：设a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$，
则a_n-a_n-1=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$-$\frac{f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n-1}}$=$\frac{f（{2}^{n}）-2f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n}}$
=$\frac{2f（{2}^{n-1}）+{2}^{n-1}f（2）-2f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n}}$=$\frac{f（2）}{2}$=1，
则$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$-$\frac{f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n-1}}$=1（n∈N^*）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，注意充分运用已知关系式，结合抽象函数的关系进行推导是解决本题的关键．