Question

已知数列{a_n}，a₁=a，且a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
（1）若a₁，a₂，a₃成等差数列，求实数a的值；
（2）数列{a_n}为等比数列，求出a，并加以证明．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a等差数列，知2（-2a+4）=a+4a，由此能求出实数a的值．
（2）因为a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），所以

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，故{

an

2n

-

1

2

}是以

a

2

-

1

2

为首项，-1为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}能为等比数列的充要条件．

解答： 解：（1）a₁=a，a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，
∴2（-2a+4）=a+4a，
∴a=

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；
（2）∵a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，
∴

an+1

2n+1

-

1

2

=-（

an

2n

-

1

2

），
故{

an

2n

-

1

2

}是以

a

2

-

1

2

为首项，-1为公比的等比数列，
∴

an

2n

-

1

2

=（

a

2

-

1

2

）•（-1）^n-1，
∴a_n=2ⁿ[

1

2

+（

a

2

-

1

2

）•（-1）^n-1]，
∴

an+1

an

=2•

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n

1 2 +( a 2 - 1 2 )•(-1)n-1

，
∴{a_n}为等比数列

an+1

an

为常数，
∴当且仅当a=1时，

an+1

an

=2为常数．

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质及其应用，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．