Question

2．已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=$\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{2}$，则S₂₀=210．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形为2S_n=a_na_n+1，结合首项求得a₂，且得到2S_n-1=a_n-1a_n（n≥2），进一步作差可得数列{a_n}的奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列．分组后利用等差数列的前n项和得答案．

解答 解：由S_n=$\frac{{{a_n}{a_{n+1}}}}{2}$，得2S_n=a_na_n+1，
∴2a₁=a₁a₂，又a₁=1，
∴a₂=2；
由2S_n=a_na_n+1，
得2S_n-1=a_n-1a_n（n≥2），
两式相减得：2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a_n≠0，
∴a_n+1-a_n-1=2（n≥2）．
即数列{a_n}的奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，
偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列．
∴S₂₀=（a₁+a₃+…+a₁₉）+（a₂+a₄+…+a₂₀）
=$10×1+\frac{10×9}{2}×2+10×2+\frac{10×9}{2}×2$=210．
故答案为：210．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了数列的分组求和与等差数列的前n项和，是中档题．