Question

10．已知数列{a_n}满足：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²（n≥1，n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前n项和．存在正整数n，使得S_n＞λ-$\frac{1}{2}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²（n≥1，n∈N^*），n=1时，解得a₁=1．n≥2时，利用递推关系可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，解得a_n即可得出．
（II）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 解：（I）∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=n²（n≥1，n∈N^*），
∴n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，解得a₁=1．
n≥2时，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=（n-1）²，相减可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，解得a_n=$\frac{1}{2n-1}$．（n=1时也成立）．
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（II）b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$．
不等式S_n＞λ-$\frac{1}{2}$，化为：λ＜$1-\frac{1}{2（2n+1）}$．
∵存在正整数n，使得S_n＞λ-$\frac{1}{2}$，数列$\{-\frac{1}{2（2n+1）}\}$单调递增．
∴$\frac{5}{6}$≤λ＜1．
∴实数λ的取值范围是$[\frac{5}{6}，1）$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．