Question

4．如图，几何体ABCA₁B₁C₁中，面ABC是边长为2的正三角形，AA₁，BB₁，CC₁都垂直于面ABC，且AA₁=2BB₁=2CC₁=2，D为B₁C₁的中点，E为A₁D的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求BC₁与面A₁B₁C₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取BC的中点O，连结AO，OD，以O为原点就空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$的坐标，利用数量积为0证明AE⊥B₁C₁，AE⊥A₁B₁，从而得出AE⊥面A₁B₁C₁；
（II）由（I）可知$\overrightarrow{AE}$为平面A₁B₁C₁的一个法向量，于是BC₁与面A₁B₁C₁所成角的正弦值等于|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{AE}$＞|．

解答 证明：（I）取BC的中点O，连结AO，OD，则OD∥A₁A，OA⊥BC．
∵AA₁⊥平面ABC，∴OD⊥平面ABC．
以O为原点，以OC，OA，OD为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则O（0，0，0），A（0，$\sqrt{3}$，0），A₁（0，$\sqrt{3}$，2），B₁（-1，0，1），C₁（1，0，1），D（0，0，1），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AE}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（2，0，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（-1，-$\sqrt{3}$，-1），
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=0，
∴AE⊥B₁C₁，AE⊥A₁B₁，又B₁C₁?平面A₁B₁C₁，A₁B₁?平面A₁B₁C₁，A₁B₁∩B₁C₁=B₁，
∴AE⊥平面A₁B₁C₁．
（II）由（I）知$\overrightarrow{AE}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）为平面A₁B₁C₁的一个法向量，
∵$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（2，0，1），∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{AE}$=$\frac{3}{2}$，|$\overrightarrow{AE}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{B{C}_{1}}$|=$\sqrt{5}$，
∴cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{AE}$＞=$\frac{\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴BC₁与面A₁B₁C₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．