Question

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为，
且他们是否破译出密码互不影响，若三人中只有甲破译出密码的概率为.
（1）求的值，
(2）设在甲、乙、丙三人中破译出密码的总人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）.

Answer 1

（1）；（2）分布列详见解析，.

试题分析：本题主要考查概率的计算公式、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，考查基本运算能力.第一问，是事件的相互独立性，通过独立事件的概率公式列出已知条件中的表达式，解方程解出；第二问，是求分布列和期望，同样利用独立事件的概率公式，求出每一种情况下的概率，画出分布列，利用期望的计算公式计算期望.
试题解析：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件，依题意有，，且相互独立.        2分
（1）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，
则有.          5分
所以，得.         6分
（2）的所有可能取值为0,1,2,3.
所以，
，
，
.        10分
的分布列为

所以.        12分