Question

1．已知二次函数y=f（x），当x=2时，函数f（x）取最小值-1，且f（1）+f（4）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-kx在区间（1，4）上无最小值，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可以得到该二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），设解析式为y=a（x-2）²-1，结合f（1）+f（4）=3可得f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-kx在区间（1，4）上无最小值，则函数图象的对称轴x=$\frac{k+4}{2}$≥4或$\frac{k+4}{2}$≤1，解得实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值-1，
∴二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），
设解析式为y=a（x-2）²-1，（a＞0），
∵f（1）+f（4）=a-1+4a-1=5a-2=3，
解得：a=1，
故y=（x-2）²-1=y=x²-4x+3；
（2）∵g（x）=f（x）-kx=x²-（k+4）x+3在区间（1，4）上无最小值，
故对称轴x=$\frac{k+4}{2}$≥4或$\frac{k+4}{2}$≤1，解得：x≥4或x≤-2，
即实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[4，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．