Question

17．已知圆x²+y²+2x-3=0的圆心为C，点A为直线ax-y-5a+4=0上的点，若该圆上有一点B且∠CBA=$\frac{π}{6}$，则实数a的取值范围为0≤a≤$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时CA=4，利用圆上有一点B且∠CBA=$\frac{π}{6}$，可得圆心到直线的距离d=$\frac{|-6a+4|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≤4，进而得出答案．

解答 解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，此时CA=4．
∵圆上有一点B且∠CBA=$\frac{π}{6}$，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-6a+4|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$≤4，
∴0≤a≤$\frac{12}{5}$，
故答案为：0≤a≤$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线的距离的计算公式、数形结合思想方法，属于中档题．