Question

9．在等腰△ABC中，AB=AC，D是腰AC的中点，若sin∠CBD=$\frac{1}{4}$，则sin∠ABD=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{8}$

Answer 1

分析 记∠CBD=α，∠ABD=β，由正弦定理可得：$\frac{sinβ}{sinα}$=$\frac{sinA}{sinC}$，进而利用三角函数恒等变换的应用可求cosC=2sinβ，又cosC=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，进而解得sin∠ABD的值．

解答 解：记∠CBD=α，∠ABD=β，由题意sinα=$\frac{1}{4}$，
在△BCD中，由正弦定理可得：$\frac{CD}{sinα}$=$\frac{BD}{sinC}$，
在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{AD}{sinβ}=\frac{AD}{sinA}=\frac{BD}{sinA}$，
两式相除可得：$\frac{sinβ}{sinα}$=$\frac{sinA}{sinC}$，
即sinβ=$\frac{sinA}{4sinC}$=$\frac{sin（π-2C）}{4sinC}$=$\frac{sin2C}{4sinC}$=$\frac{2sinCcosC}{4sinC}$=$\frac{cosC}{2}$，
变形可得cosC=2sinβ，
又cosC=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，
可得：2sinβ=$\frac{\sqrt{15}}{4}$cosβ-$\frac{1}{4}$sinβ，即$\sqrt{15}$cosβ=9sinβ，
上式平方可得15cos²β=81sin²β，即cos²β=$\frac{81}{15}$sin²β，
又∵cos²β+sin²β=1，
∴$\frac{96}{15}$sin²β=1，解得sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，即sin∠ABD=$\frac{\sqrt{10}}{8}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．