Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数存在两个零点，，使，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）2.

【解析】

（1）对函数求导，由x>0,进而对和分别讨论，得出的单调性.（2）函数有两个零点，，得，代入，令，则，设，求导得在上的最值即可.

（1）函数的定义域为，.

当时，，在单调递增；

当时，令，得，

当时，；当时，.

所以在单调递增，在单调递减.

综上所述，当时，在单调递增；

当时，在单调递增，在单调递减.

（2）因为，，即，.

两式相减得，即.

由已知，得.

因为，，所以，即.

不妨设，则有.

令，则，所以，即恒成立.

设.

.

令，，的图象开口向上，对称轴方程为，

方程的判别式.

当时，在单调递增，，所以,

在单调递增，所以在恒成立.

当时，，在上恒成立，所以，

在单调递增，所以在恒成立.

当时，在单调递减，因为，，

所以存在，使得

当时，，；当时，，，

所以在上递增，在上递减.

当时，都有，

所以在不恒成立.

综上所述，的取值范围是，所以的最大值为2.