Question

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）求出AC，连结CO，证明AO⊥CO，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明AO⊥平面BCD．
（2）分别取BC、AC的中点E、F，连结EF、EG，说明∠FEO或其补角就是异面直线AB、CD所成的角，连结FO，在△EFO中，求解cos∠FEO即可．

解答： 解：（1）证明：在三角形ABC中，因为AB=AD=

2

，O是BD中点，
所以AO⊥BD，且AC=

( 2 )2-1

=1------------------（2分）
连结CO，在等边三角形BCD中易得CO=

3

，
所以AC²=2²=1²+（

3

）²=AO²+CO²，
所以AO⊥CO--------------------------------（4分）
因为CO∩BD=O，CO、BD?平面BCD
所以AO⊥平面BCD---------------------（6分）
（2）分别取BC、AC的中点E、F，连结EF、EG
因为EF

∥

.

AB，EO

∥

.

1

2

CD
所以∠FEO或其补角就是异面直线AB、CD所成的角---------（8分）
连结FO，因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥CO，
所以在Rt△ACO中，斜边AC上的中线FO=

1

2

AC=1，
又因为EO=

1

2

CD=1，EF=

1

2

AB=

2

2

，
所以在△EFO中，cos∠FEO=

EF2+EO2-FO2

2EF•EO

=

2

4

因为cos∠FEO＞0，所以异面直线AB、CD所成的角的余弦值是

2

4

-------------------（14分）

点评：本题列出直线与垂直的判定定理的应用，异面直线所成角的求法，考查转化思想的应用．