Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为2x+（k-3）y-2k+4=0，k∈R．
（Ⅰ）若坐标原点O关于直线l的对称点O′坐标为（a，2），求k的值．
（Ⅱ）求坐标原点O到直线l距离的最大值．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：（I）把线段OO′的中点M(

a

2

，1)代入直线l的方程即可解出；
（II）利用点到直线的距离公式、基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（I）线段OO′的中点M(

a

2

，1)，代入直线l的方程可得2×

a

2

+（k-3）×1-2k+4=0，
化为k=a+1．
（II）坐标原点O到直线l距离d=

|-2k+4|

4+(k-3)2

，
考虑k＞2时，d=

2

(k-2)+ 5 k-2 -2

≤

2

2 5 -2

=

2 5 +2

2

，当且仅当k=2+

5

时取等号．
∴d的最大值为：

2 5 +2

2

．

点评：本题考查了中点坐标公式、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．