Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

5

5

，左右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆上，满足PF₁⊥F₁F₂，且S △PF1F2=

4 5

5

．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若点A，B是椭圆C上的两点，求△AOB的最大面积；并当△AOB面积取最大值时，求AB的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知|PF₁|=

(1- c2 a2 )×b2

=

b2

a

，

c

a

=

5

5

，a²=b²+c²，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当k不存在时，△AOB面积的最大值为

5

，此时|AB|=2

2

；当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+m，代入椭圆C：

x2

5

+

y2

4

=1，得：（4+5k²）x²+10kmx+5m²-20=0，由此利用韦达定理、椭圆弦长公式能求出△AOB的最大面积，当△AOB面积有最大值为

5

时，|AB|∈[2

2

，

10

]．

解答： 解：（1）由题意知|PF₁|=

(1- c2 a2 )×b2

=

b2

a

，

c

a

=

5

5

，
∴

1

2

×2c×

b2

a

=

4 5

5

，又a²=b²+c²，
解得b²=4，a²=5，
∴椭圆C的标准方程为

x2

5

+

y2

4

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当k不存在时，由题意得S=2|x|

1- x2 5

≤

5

，
当且仅当

x2

5

=

1

2

，
△AOB面积的最大值为

5

，此时|AB|=2

2

．
②当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为：y=kx+m，
代入椭圆C：

x2

5

+

y2

4

=1，得：
（4+5k²）x²+10kmx+5m²-20=0，
∴x1+x2=

-10km

4+5k2

，x1x2=

5m2-20

4+5k2

，
|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

4+5k2-m2

4+5k2

=L，
S=

1

2

•L•d=

L

2

•

|m|

1+k2

=

2 5 |m|• 4+5k2-m2

4+5k2

≤

2 5 • m2+4+5k2-m2 2

4+5k2

=

5

，
当且仅当4+5k²-m²=m²，即m²=

4+5k2

2

，△AOB面积有最大值

5

，
∴|AB|=

1+k2

•

4 5 • 4+5k2-m2

4+5k2

=2

10

•

1+k2 4+5k2

=2

10

•

1 5 + 1 5(4+5k2)

∈（2

2

，

10

]．
综上，当△AOB面积有最大值为

5

时，|AB|∈[2

2

，

10

]．

点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的求法，考查弦长的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．