Question

已知函数f（x）=e^x．
（Ⅰ）设函数g(x)=

a

f(x)

+x，a∈R，求g（x）的极值．
（Ⅱ）证明：h(x)=f(x)-

1

2

x2-x-1在R上为增函数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求g（x）的极值．
（Ⅱ）证明h′（x）≥0即可．

解答： （Ⅰ）解：g（x）=

a

ex

+x，
∴g′（x）=-

a

ex

+1=0，
∴x=lna，
∴x＜lna时，函数单调递减，x＞lna时，函数单调递增，
∴x=lna时，g（x）的极小值为lna．
（Ⅱ）证明：∵h(x)=f(x)-

1

2

x2-x-1，
∴h′（x）=e^x-x-1，
∴h″（x）=e^x-1=0可得x=0，
∴函数h′（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴h′（x）≥h′（0）=0，
∴h(x)=f(x)-

1

2

x2-x-1在R上为增函数．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．