题目内容

工厂的设备使用一段时间后，需要更新，但若更新过早，老设备的生产潜力未得以完全发挥就抛弃，易造成损失；若更新过晚，老设备生产效率低下，维修费用昂贵，也会造成损失，现有一台价值4000元的设备，第一年的维修、燃料及动力消耗费用为320元，以后每一年比上一年增加320元，要使工厂为这台设备支付的年平均费用最小，这台设备应在使用多少年后更新？
考点：根据实际问题选择函数类型
专题：应用题,等差数列与等比数列
分析：设这台设备使用x年后要更新，这这x年的平均费用为
4000+
320x(x+1)
2
x
=
4000
x
+160x+160，利用基本不等式求得它的最小值，以及此时x的值．
解答： 解：设这台设备使用x年后要更新，这这x年的总费用为4000+320（1+2+3+…+x）=4000+
320x(x+1)
2

平均费用为
4000+
320x(x+1)
2
x
=
4000
x
+160x+160≥800+160=960，
当且仅当
4000
x
=160x，即 x=5时，取等号．
故使用5年更新，每年的平均费用最低．
点评：本题主要考查基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ex．
（Ⅰ）设函数g(x)=
a
f(x)
+x，a∈R，求g（x）的极值．
（Ⅱ）证明：h(x)=f(x)-
1
2
x2-x-1在R上为增函数．
已知函数f（x）=x2-alnx．
（1）若a=2e，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在（0，e）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）
已知函数f（x）=
1
x+1
．
（Ⅰ）设g（x）=f（x）•1nx，判断函数g（x）在（0，+∞）上是否存在极大值，并说明理由．
（Ⅱ）如图，曲线y=f（x）在点Q（0，1）处的切线与x轴交于点P1，过点P1作x轴的垂线交曲线于点Q1；曲线在点Q1处的切线与x轴交于点P2，过点P2作x轴的垂线交曲线于点Q2；依次重复上述过程得到点列：P1，P2，P3，…，Pn（n∈N*），设点Pn的坐标为（an，0），求数列{an}的通项公式，并证明：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
≥
3
2
-
1
2n
．
已知函数f（x）=（ax2+x）•ex，其中e是自然数的底数，a∈R，
（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；
（2）当a=0时，试判断：是否存在整数k，使得方程f（x）=（x+1）•ex+x-2在[k，k+1]上有解？若存在，请写出所有可能的k的值；若不存在，说明理由；
（3）若当x∈[-1，1]时，不等式f（x）+（2ax+1）•ex≥0恒成立，求a的取值范围．
已知函数f（x）=
3
8
x2+lnx+2，g（x）=x．
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）-2•g（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-2•g（x）在[et，+∞）（t∈Z）上有零点，求t的最大值；
（Ⅲ）若bn=g(n)
1
g(n+1)
（n∈N*），试问数列{bn}中是否存在bn=bm（m≠n）？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由．（e为自然对数的底数约为2.718）．
欲修建一横断面为等腰梯形（如图）的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则水渠壁的倾角α（0°＜α＜90°）应为多大时，方能使修建成本最低？
已知集合A={x|x2-5x+4=0}，B={x|（x-3）（x-a）=0，a∈R}．
（1）若a=1，求A∩B、A∪B；
（2）若A∩B≠∅，求a的值．
函数f（x）=
x2-4x+8
x-2
的极大值点与极小值点分别是
 
．

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