Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）如何由函数y=2sinx的图象通过适当的变换得到函数f（x）的图象，写出变换过程；
（3）若f（

α

4

）=

1

2

，求sin（

π

6

-α）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接由函数图象求得A和四分之一周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求φ；
（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；
（3）由f（

α

4

）=

1

2

求出sin(

α

2

+

π

6

)=

1

4

，然后把sin（

π

6

-α）转化为余弦利用倍角公式得答案．

解答： 解：（1）由函数图象可知，A=2，

T

4

=

5π

12

-

π

6

=

π

4

，T=π．
∴

2π

ω

=π，ω=2．
由五点作图的第三点得2×

5π

12

+φ=π，得φ=

π

6

．
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)；
（2）法1：先将y=2sinx的图象向左平移

π

6

个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的

1

2

倍，所得图象即为f(x)=2sin(2x+

π

6

)的图象．
法2：先将y=2sinx的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的

1

2

倍，再将所得图象向左平移

π

12

个单位，所得图象即为f(x)=2sin(2x+

π

6

)的图象；
（3）由f(

α

4

)=2sin(2•

α

4

+

π

6

)=2sin(

α

2

+

π

6

)=

1

2

，
得：sin(

α

2

+

π

6

)=

1

4

，
∴sin(

π

6

-α)=cos(α+

π

3

)=1-2sin2(

α

2

+

π

6

)=1-

1

8

=

7

8

．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数的求值，是中档题．