Question

已知动圆P与圆O₁：x²-4x+y²+3=0外切，与直线l：x=-1相切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）通过（1，0）的直线与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，若AO，BO所在直线分别与直线y=x+4交于点E、F，求|EF|的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（Ⅰ）运用两圆相切和直线与圆相切的条件，以及抛物线的定义，即可求出曲线C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：x=my+1，联立抛物线方程和直线方程，运用韦达定理，设E（x_E，y_E），
F（x_F，y_F），l_AO：y=

y1

x1

x，联立y=x+4，求出|EF|=

2

|x_E-x_F|=16

2

|

4m2+2

8m-7

|，运用换元和配方即可求出最小值．

解答： 解：（Ⅰ）圆O₁：x²-4x+y²+3=0即（x-2）²+y²=1，则圆心O₁（2，0），半径为1．
由条件知点P到O₁的距离比到直线l：x=-1的距离大1，
故点P到O₁的距离与到直线x=-2的距离相等，
点P的轨迹为以O₁（2，0）为焦点，x=-2为准线的抛物线，其方程为：y²=8x；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：x=my+1，联立抛物线方程和直线方程，得到y²-8my-8=0，
∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8，|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

64m2+32

，
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），l_AO：y=

y1

x1

x，联立y=x+4，得到

y1

x1

x=x+4，即x=

4

y1 x1 -1

=

4y1

8-y1

，
即x_E=

4y1

8-y1

，同理x_F=

4y2

8-y2

，即有|EF|=

2

|x_E-x_F|=

2

|

4y1

8-y1

-

4y2

8-y2

|=
32

2

|

y1-y2

y1y2-8(y1+y2)+64

|=32

2

|

4 4m2+2

-8-64m+64

|=16

2

|

4m2+2

8m-7

|，
令t=8m-7，m=

t+7

8

，则上式=4

2

|

t2+14t+81

t

|=4

2

1+ 14 t + 81 t2

=4

2

( 9 t + 7 9 )2+ 32 81

≥4

2

×

4 2

9

=

32

9

，
当t=-

81

7

，即8m-7=-

81

7

，m=-

4

7

时，|EF|_min=

32

9

．

点评：本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，主要是相切，考查抛物线的定义和方程，直线与抛物线联立，运用韦达定理，以及弦长公式，配方求最值，属于中档题．