题目内容
【题目】对关于
的方程
有近似解，必修一课本里研究过‘二分法’.现在结合导函数，介绍另一种方法‘牛顿切线法’.对曲线
，估计零点的值在
附近，然后持续实施如下‘牛顿切线法’的步骤：
在
处作曲线的切线，交轴于点
；
在
处作曲线的切线，交轴于点
；
在
处作曲线的切线，交轴于点
；
得到一个数列
，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确.请回答下列问题：
（1）求
的值；
（2）设
，求
的解析式（用
表示
）；
（3）求该方程的近似解的这两种方法，‘牛顿切线法’和‘二分法’，哪一种更快？请给出你的判断和依据.（参照值：关于的方程有解
）
【答案】（1）
；（2）
；（3）牛顿法更快，理由见详解.
【解析】
（1）根据题意，求函数求导解得切线斜率，再结合点斜式求得切线方程，即可容易得到结果；
（2）求出
在
处的切线方程，则
满足切线方程即可；
（3）根据牛顿法和二分法的操作步骤，即可展开运算，从而进行比较.
（1）因为
，故可得
，
则
，
故可得在
处的切线方程为
，
整理得
，令
，则
.
根据题意，则
.
（2）由（1）中所求，
可得
，
故可得在处的切线方程为
，
又因为满足切线方程，
故可得
解得
.
故.
（3）根据（1）和（2）中所求，
用牛顿法经过1次运算，可得近似解
，
用牛顿法经过
次运算，可得近似解
用牛顿法经过3次运算，可得近似解
经过3次运算，牛顿法求得的近似解精确到了
；
若采用二分法，选定初始区间为
，
因为
，经过一次运算，近似解为
，
因为
，经过二次运算，近似解为
，
因为
，经过三次运算，近似解为
，
经过3次运算，二分法求得的近似解才精确到
.
不难发现，牛顿法相对二分法要更加快速
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