Question

12．如图，平面α截三棱锥P-ABC得截面DEFG，设PA∥α，BC∥α．
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）设PA=6，BC=4，PA与BC所成的角为60⁰，求四边形DEFG面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）推导出DG∥EF，GF∥DE，由此能证明四边形DEFG为平行四边形．
（2）设DG=x（0＜x＜6），推导出DE=GF=$\frac{12-2x}{3}$，∠GDE=60°，四边形DEFG面积S=DG•DE•sin60°，由此能求出四边形DEFG面积取最大值．

解答 证明：（1）∵面α截三棱锥P-ABC得截面DEFG，PA∥α，BC∥α．
平面PAB∩截面DEFG=DG，
∴PA∥DG，PA∥EF，∴DG∥EF，
同理，GF∥DE，
∴四边形DEFG为平行四边形．
解：（2）设DG=x（0＜x＜6），
则$\frac{BG}{BP}=\frac{DG}{AP}=\frac{x}{6}$，∴$\frac{PG}{BP}=\frac{6-x}{6}=\frac{GF}{BC}=\frac{GF}{4}$，
∴DE=GF=$\frac{12-2x}{3}$，
∵PA∥DG，BC∥DE，PA与BC所成的角为60⁰，
∴∠GDE=60°，
∴四边形DEFG面积S=DG•DE•sin60°=x•$\frac{12-2x}{3}$•sin60°=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-3）²+3$\sqrt{3}$．
∴当x=3时，四边形DEFG面积取最大值3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查四边形为平行四边形的证明，考查四边形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．