Question

已知定义在R上的函数f（x）=

2x

4x+1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）若方程f（x）=m在（-1，1）上有解，求m的取值范围？

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用奇偶性的定义，注意定义域是否关于原点对称，即可判断；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤；
（3）根据偶函数，只要考虑x∈[0，1）时，函数f（x）单调递减，求出范围即可得到．

解答： （1）解：因为f（x）定义域为R，
且f(-x)=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

=f(x)，
所以函数f（x）为偶函数；
（2）证明：设0＜m＜n＜1，则f（m）-f（n）=

2m

4m+1

-

2n

4n+1

=

(2n-2m)(2m+n-1)

(4m+1)(4n+1)

，
由于0＜m＜n＜1，则2ⁿ-2^m＞0，2^m+n＞1
则f（m）＞f（n），
所以f（x）在（0，1）上是减函数；
（3）解：m=

2x

4x+1

，当x∈[0，1）时，函数f（x）单调递减，
f(x)∈(

2

5

，

1

2

]，
又因为f（x）是偶函数，
所以当x∈（-1，1）时，f(x)∈(

2

5

，

1

2

]，
所以当m∈(

2

5

，

1

2

]时，方程在（-1，1）上有解．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义，考查奇偶性和单调性的运用，属于中档题．