Question

5．“五一”假期期间，某餐厅对选择A、B、C三种套餐的顾客进行优惠．对选择A、B套餐的顾客都优惠10元，对选择C套餐的顾客优惠20元．根据以往“五一”假期期间100名顾客对选择A、B、C三种套餐的情况得到下表：

选择套餐种类	A	B	C
选择每种套餐的人数	50	25	25

将频率视为概率．
（I）若有甲、乙、丙三位顾客选择某种套餐，求三位顾客选择的套餐至少有两样不同的概率；
（II）若用随机变量X表示两位顾客所得优惠金额的综合，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图表结合频率视为概率求出顾客选择A、B、C三种套餐的概率，然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出三位顾客选择的套餐都同的概率，再由对立事件的概率求得三位顾客选择的套餐至少有两样不同的概率；
（Ⅱ）由题意知两位顾客获得优惠金额X的可能取值为20，30，40．求出三种情况的概率，可得分布列再由期望公式求得X的期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知，顾客选择A、B、C三种套餐的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$，
甲、乙、丙三位顾客选择的套餐都同的概率为$P={（{\frac{1}{2}}）^3}+2{（{\frac{1}{4}}）^3}=\frac{5}{32}$，
∴三位顾客选择的套餐至少有两样不同的概率为$1-P=\frac{27}{32}$；
（Ⅱ）由题意知两位顾客获得优惠金额X的可能取值为20，30，40．
$P（X=20）=（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}+{C}_{2}^{1}•\frac{1}{2}•\frac{1}{4}=\frac{9}{16}$，
$P（X=30）={C}_{2}^{1}•\frac{1}{4}•（\frac{1}{2}+\frac{1}{4}）=\frac{3}{8}$，
$P（{X=40}）={（{\frac{1}{4}}）^2}=\frac{1}{16}$，
综上可得X的分布列为：

X	20	30	40
P	$\frac{9}{16}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{16}$

X的数学期望$EX=20×\frac{9}{16}+30×\frac{3}{8}+40=25$．

点评 本题考查离散型随机变量及其分布，考查相互独立事件概率的求法，是中档题．