Question

8．已知直线l：（m+2）x+（m-1）y+4-4m=0上总存在点M，使得过M点作的圆C：x²+y²+2x-4y+3=0的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m≤1或m≥2
• B． 2≤m≤8
• C． -2≤m≤10
• D． m≤-2或m≥8

Answer 1

分析 若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（-1，2）到直线l的距离$d=\frac{|-m-2+2m-2+4-4m|}{{\sqrt{{{（m+2）}^2}+{{（m-1）}^2}}}}≤2$，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，
由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四边形MACB为正方形，故$|MC|=\sqrt{2+2}=2$，
若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（-1，2）到直线l的距离$d=\frac{|-m-2+2m-2+4-4m|}{{\sqrt{{{（m+2）}^2}+{{（m-1）}^2}}}}≤2$，即m²-8m-20≤0，∴-2≤m≤10，
故选：C．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心（-1，2）到直线l的距离$d=\frac{|-m-2+2m-2+4-4m|}{{\sqrt{{{（m+2）}^2}+{{（m-1）}^2}}}}≤2$，是解决问题的关键，属中档题．