Question

4．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点．
（1）求证：AM∥平面BEC；
（2）若点P为线段BC的中点，求直线PE与平面BDE所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）取CE的中点N，连接MN，BN，通过证明四边形ABNM是平行四边形可得AM∥BN，于是AM∥平面BEC；
（2）证明BP⊥平面BDE，于是∠PEB为所求角，求出BP和BE即可得出答案．

解答 （1）证明：取CE的中点N，连接MN，BN，
∵M，N分别是DE，CE的中点，
∴MN∥CD，MN=$\frac{1}{2}$CD，
又AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴AB∥MN，AB=MN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴AM∥BN，又AM?平面BCE，BN?平面BCE，
∴AM∥平面BCE．
（2）解：∵直角梯形ABCD中，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，AB⊥AD，
∴BD=BC=$\sqrt{2}$，∴BC⊥BD，
∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，AD⊥DE，
∴DE⊥平面ABCD，又BC?平面ABCD，
∴DE⊥BC，又BD∩DE=D，
∴BC⊥平面BDE，即BP⊥平面BDE，
∴∠PEB为直线PE与平面BDE所成角，
∵BP=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠PEB=$\frac{BP}{BE}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，属于中档题．