Question

1．底面边长和侧棱长均为2的正四棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 底面边长和侧棱长均为2的正四棱锥S-ABCD中，连结AC、BD交于点O，连结SO，则SO⊥底面ABCD，亚洲 届AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$，$SO=\sqrt{S{A}^{2}-A{O}^{2}}$，由此能求出正四棱锥的体积．

解答 解：如图，底面边长和侧棱长均为2的正四棱锥S-ABCD中，
连结AC、BD交于点O，连结SO，
则SO⊥底面ABCD，
S_{正方形ABCD}=AB•BC=2×2=4，
AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
$SO=\sqrt{S{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴正四棱锥的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×SO$=$\frac{1}{3}×4×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查正四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．