Question

9．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-3≤0}\\{x+y≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$，则z=x²+y²+2y+1的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，z=x²+y²+2y+1=（y+1）²+x²表示点（0，-1）到可行域的点的距离的平方，由此求出z的最小值．

解答 解：画出约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-3≤0}\\{x+y≥0}\\{x-y≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域如图所示，
则z=x²+y²+2y+1=x²+（y+1）²，
表示可行域内的点到点C（0，-1）距离的平方，
当取点C到直线x+y=0的距离时，z最小，
此时z的最小值为d²=${（\frac{|0-1|}{\sqrt{2}}）}^{2}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值问题，是基础题．