Question

12．定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90°的正角．已知双曲线E：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），当其离心率$e∈[\sqrt{2}，2]$时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（　　）

• A． $[0，\frac{π}{6}]$
• B． $[\frac{π}{6}，\frac{π}{3}]$
• C． $[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$
• D． $[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$

Answer 1

分析 讨论离心率e=$\sqrt{2}$，求得双曲线的渐近线方程y=±x，可得渐近线的夹角；当离心率e∈（$\sqrt{2}$，2]时，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得$\frac{b}{a}$的范围，再由两直线的夹角公式，结合对勾函数的单调性，即可得到所求夹角范围．

解答 解：当离心率e=$\sqrt{2}$及$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
即有b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=a，
可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±x，
则双曲线的渐近线的夹角为$\frac{π}{2}$；
当离心率e∈（$\sqrt{2}$，2]时，即有$\frac{c}{a}$∈（$\sqrt{2}$，2]，
即为$\sqrt{1+（\frac{b}{a}）^{2}}$∈（$\sqrt{2}$，2]，
化简可得$\frac{b}{a}$∈（1，$\sqrt{3}$]，
又双曲线的渐近线的夹角的正切为|$\frac{\frac{2b}{a}}{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$|，
令t=$\frac{b}{a}$∈（1，$\sqrt{3}$]，可得f（t）=|$\frac{2t}{1-{t}^{2}}$|=|$\frac{2}{\frac{1}{t}-t}$|=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，
由f（t）在（1，$\sqrt{3}$]递减，可得f（t）≥$\sqrt{3}$，
可得夹角的取值范围为[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
综上可得对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的渐近线的夹角的范围，注意运用分类讨论思想方法，以及双曲线的离心率公式，构造函数法，运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．