Question

11．若tanα=3tanβ，其中0＜β≤α＜$\frac{π}{2}$，则α-β的最大值为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 由题意0＜β≤α＜$\frac{π}{2}$，tanβ＞0，利用α-β的正切与tanα=3tanβ，可求得关于tanβ的关系式，利用基本不等式可求得tan（α-β）的最大值，再由正切函数的单调性即可求得答案．

解答 解：∵tanα=3tanβ，又0≤β＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴tanβ＞0，
∴tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{2tanβ}{1+3ta{n}^{2}β}$=$\frac{2}{\frac{1}{tanβ}+3tanβ}$
∵tanβ＞0，
$\frac{1}{tanβ}+3tanβ≥2\sqrt{\frac{1}{tanβ}×3tanβ}$=2$\sqrt{3}$，
∴0＜tan（α-β）≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又y=tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
（当且仅当3tan²β=1，即$tanβ=\frac{\sqrt{3}}{3}$取等号，此时$β=\frac{π}{6}$，tanα=3tanβ，即tanα=$\sqrt{3}$，此时$α=\frac{π}{3}$）
则α-β的最大值$\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查两角差的正切函数及正切函数的单调性，考查基本不等式，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．