Question

15．某开心农场要用一段长为40m的篱笆，围成一个矩形菜园ABCD，若设菜园的边长AB为xm，菜园的面积为ym²．
（1）求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围；
（2）当x为何值时，菜园面积最大？并求出最大值？

Answer 1

分析 （1）根据菜园的长，求得宽，再计算出面积，并指出定义域；
（2）直接运用基本不等式求函数的最值，再分析取等条件．

解答 解：（1）因此矩形菜园的边AB长为xm，且周长为40m，
所以，菜园的边BC的长为（20-x）m，
所以，菜园的面积为y=x（20-x），（单位：m²），
函数的定义域x∈（0，20）；
（2）根据基本不等式，x（20-x）≤$（\frac{x+20-x}{2}）^{2}$=100，
当且仅当：x=20-x时，即x=10时，
函数y=x（20-x）的值最大，最大值为100m²，
即当AB的长x=10m时，菜园面积取得最大值100m²．

点评 本题主要考查了函数解析式和定义域的确定，基本不等式在最值问题中的应用，以及取等条件的确立，属于中档题．