Question

20．在三棱椎O-ABC中，OA=OB=OC=1，∠AOB=90°，OC⊥平面AOB，D为AB的中点，则OD与平面OBC的夹角为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出OD与平面OBC的夹角．

解答 解：以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，
建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），C（0，0，1），
由题意得OB⊥OA，OA⊥OC，
∴$\overrightarrow{OA}$是平面BOC的法向量，
设OD与平面OBC的夹角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OD}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OD}|}{|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OD}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{4}$．
∴OD与平面OBC的夹角为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查直线与平面的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．