Question

14．椭圆的两个焦点分别为F₁（-1，0）和F₂（1，0），若该椭圆与直线x+y-3=0有公共点，则其离心率的最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{6}$-1
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{12}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$

Answer 1

分析 由题意，c=1，$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$，从而a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小，由此能求出其离心率的最大值．

解答 解：∵椭圆的两个焦点分别为F₁（-1，0）和F₂（1，0），
∴由题意，c=1，
∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{a}$，
∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小
设椭圆为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-1}$=1，
把直线x+y-3=0代入，化简整理可得（2a²-1）x²+6a²x+10a²-a⁴=0
由△=0，解得：a²=5，
于是a=$\sqrt{5}$，
e_max=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的离心率的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．