Question

如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天

（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）

Answer 1

考点：极差、方差与标准差,离散型随机变量的期望与方差

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；
（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；
（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．

解答： 解：设A_i表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2，…，13）
依据题意P（A_i）=

1

13

，A_i∩A_j=∅（i≠j）
（Ⅰ）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=

6

13

…（3分）
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2
P（X=0）=

5

13

，P（X=1）=

4

13

，P（X=2）=

4

13

…（6分）
∴X的分布列为

X	0	1	2
P	5 13	4 13	4 13

…（8分）
∴X的数学期望为E（X）=

12

13

…（11分）
（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．  …（13分）

点评：本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力．