题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-3，0），过点F1作一条直线l交椭圆于A，B两点，点A关于坐标原点O的对称点为A1，两直线AB，A1B的斜率之积为-
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知D（m，0）为F1右侧的一点，连AD，BD分别交椭圆左准线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好过点F1，求m的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 16 |
| 25 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知D（m，0）为F1右侧的一点，连AD，BD分别交椭圆左准线于M，N两点，若以MN为直径的圆恰好过点F1，求m的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（-x1，-y1）．由此利用点差法能求出椭圆．
（2）设l：y=k（x+3），A（x1，y1），B（x2，y2），由
，得（16+25k2）x2+150k2x+225 k2-400=0．由此利用韦达定理、向量知识结合已知条件能示出m=5．
（2）设l：y=k（x+3），A（x1，y1），B（x2，y2），由
|
解答：
（本题满分16分）
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（-x1，-y1）．
所以，kAB=
，kA1B=
，于是kAB•kA1B=
，
由
，得
+
=0，
所以kAB•kA1B=-
…（5分）
所以
=
，所以
=
．
设b=4k，a=5k，其中k＞0．由c=3，得25k2-16k2=9，所以k=1，
所以，椭圆C：
+
=1．…（7分）
（2）设l：y=k（x+3），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
，消去y，得（16+25k2）x2+150k2x+225 k2-400=0．
所以x1+x2=-
， x1x2=
⇒y1y2=k2(x1+3)(x2+3)=-
．…（10分）
设M(-
，y3)，N(-
，y4)，由M、A、D共线，得y3=
，
同理y4=
． …（12分）
又
=(-
，y3)，
=(-
，y4)，由已知得
⊥
⇒
•
=0，
得y 3y 4=-
，而y 3y 4=
，即-
•
=-
，
整理得（1+k2）（16m2-400）=0，
所以m=±5，因为m＞-3，所以m=5…（16分）
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（-x1，-y1）．
所以，kAB=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| y2+y1 |
| x2+x1 |
| y22-y12 |
| x22-x12 |
由
|
| x22-x12 |
| a2 |
| y22-y12 |
| b2 |
所以kAB•kA1B=-
| b2 |
| a2 |
所以
| b2 |
| a2 |
| 16 |
| 25 |
| b |
| a |
| 4 |
| 5 |
设b=4k，a=5k，其中k＞0．由c=3，得25k2-16k2=9，所以k=1，
所以，椭圆C：
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
（2）设l：y=k（x+3），A（x1，y1），B（x2，y2），
由
|
所以x1+x2=-
| 150k2 |
| 16+25k2 |
| 225k2-400 |
| 16+25k2 |
| 256k2 |
| 16+25k2 |
设M(-
| 25 |
| 3 |
| 25 |
| 3 |
| (3m+25)y1 |
| 3(m-x1) |
同理y4=
| (3m+25)y2 |
| 3(m-x2) |
又
| F1M |
| 16 |
| 3 |
| F1N |
| 16 |
| 3 |
| F1M |
| F1N |
| F1M |
| F1N |
得y 3y 4=-
| 256 |
| 9 |
| (3m+25)2y1y2 |
| 9(m-x1)(m-x2) |
| 256k2 |
| 16+25k2 |
| (3m+25)2 |
| 9(m-x1)(m-x2) |
| 256 |
| 9 |
整理得（1+k2）（16m2-400）=0，
所以m=±5，因为m＞-3，所以m=5…（16分）
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
小题狂做系列答案
相关题目
如图，函数y=2sin（πx+φ），x∈R，（其中0≤φ≤
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，AC⊥BC，A1B⊥C1C，AC=BC．